Mới nhất Ngữ văn IELTS TOEIC Từ vựng tiếng Anh Tiếng Anh giao tiếp Tiếng Anh THPT Kỹ năng tiếng Anh Ngôn ngữ khác

Nội dung bài viết

1. Khái niệm bất phương trình là gì?
2. Tập nghiệm S của bất phương trình được hiểu như thế nào?
3. Những lưu ý quan trọng khi giải bất phương trình?
4. Bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình
5. Bài tập tự luyện tìm tập nghiệm của bất phương trình

Khám phá và giải mã tập nghiệm của bất phương trình: Hướng dẫn chi tiết từ lý thuyết đến thực hành

Chia sẻ

Khám phá bí quyết tìm tập nghiệm bất phương trình - một thử thách đầy hóc búa trong chương trình Toán lớp 10 mà nhiều học sinh còn bối rối chưa biết cách tiếp cận hiệu quả.

Nhằm giúp các bạn vượt qua trở ngại này, EduTOPS mang đến một tài liệu tổng hợp đầy đủ lý thuyết và bài tập minh họa chi tiết về cách tìm tập nghiệm. Hy vọng rằng, với nguồn tài liệu này, các bạn sẽ có thêm công cụ để ôn tập, củng cố kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến tập nghiệm của bất phương trình. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu bổ ích khác như: tóm tắt kiến thức và phương pháp giải Toán lớp 10, cách tìm m để phương trình vô nghiệm, các dạng bài tập về mệnh đề và tập hợp, và nhiều chủ đề liên quan đến tập nghiệm của bất phương trình.

1. Khái niệm bất phương trình là gì?

- Khác biệt với phương trình, bất phương trình bao gồm hai vế không cân bằng, có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn. Nghiệm của bất phương trình không chỉ là một giá trị đơn lẻ mà là một tập hợp các giá trị thỏa mãn điều kiện của bất phương trình.

- Có nhiều dạng bất phương trình khác nhau như: bất phương trình bậc nhất, bất phương trình bậc hai, bất phương trình vô tỷ, bất phương trình chứa căn, và bất phương trình logarit. Mỗi dạng bài tập đòi hỏi phương pháp giải khác nhau, phụ thuộc vào đặc điểm cụ thể của từng bất phương trình.

2. Tập nghiệm S của bất phương trình được hiểu như thế nào?

Đầu tiên, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa về bất phương trình một ẩn.

- Bất phương trình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x, so sánh hai hàm số f(x) và g(x) trên trường số thực, biểu diễn dưới một trong các dạng sau:

f(x) < g(x), f(x) > g(x), f(x) ≥ g(x), f(x) ≤ g(x)

- Giao của hai tập xác định của các hàm số f(x) và g(x) được gọi là tập xác định của bất phương trình.

- Nếu với giá trị x = a, bất đẳng thức f(a) > 0 đúng, ta nói rằng a nghiệm đúng bất phương trình f(x) > 0, hay a là nghiệm của bất phương trình.

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm hoặc lời giải của bất phương trình. Đôi khi, nó còn được gọi là miền đúng của bất phương trình. Trong nhiều tài liệu, tập nghiệm của bất phương trình cũng được gọi là nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ: $\infty$

\infty

Phân loại bất phương trình:

- Bất phương trình đại số bậc k là bất phương trình trong đó f(x) là đa thức bậc k.

- Bất phương trình vô tỷ là bất phương trình có chứa phép khai căn.

- Bất phương trình mũ là bất phương trình có chứa hàm mũ (biến nằm trên lũy thừa).

- Bất phương trình logarit là bất phương trình có chứa hàm logarit (biến nằm trong dấu logarit).

3. Những lưu ý quan trọng khi giải bất phương trình?

- Lưu ý khi giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn ax + b > 0 là dạng tổng quát giúp học sinh làm quen với việc giải toán. Đầu tiên, các em cần tìm nghiệm của bất phương trình, sau đó biểu diễn kết quả trên trục số và đưa vào tập nghiệm. Bất phương trình bậc nhất một ẩn tương đối dễ, nhưng gia sư nên đưa ra các bài toán mẹo hoặc bài có nghiệm vô định để kích thích tư duy sáng tạo của học sinh. Luôn nhớ kiểm tra điều kiện trước khi giải bất kỳ bài toán nào.

- Lưu ý khi giải bất phương trình tích

Bất phương trình dạng này khá phức tạp. Trước tiên, học sinh cần biến đổi để đưa về dạng bất phương trình tích. Tìm nghiệm của từng phương trình bậc nhất trong tích, sau đó xét dấu bằng bảng biến thiên. Tùy vào dấu của bất phương trình, nếu < 0, chọn giá trị x tại những ô f(x) mang giá trị âm và ngược lại. Học sinh cần thành thạo giải bất phương trình bậc nhất một ẩn và vận dụng tốt kiến thức bổ trợ để giải quyết bài tập này.

4. Bài tập tìm tập nghiệm của bất phương trình

Bài tập 1:

\sqrt{x^{2} - 5 x - 6} + 2 x^{2} > 10 x + 15

Gợi ý đáp án

${x^2} - 5x - 6 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {6; + \infty } \right)$

x^{2} - 5 x - 6 ⩾ 0 \Leftrightarrow x \in (- \infty; - 1] \cup [6; + \infty)

\begin{matrix} \sqrt{x^{2} - 5 x - 6} + 2 x^{2} > 10 x + 15 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 5 x - 6} > - 2 x^{2} + 10 x + 15 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 5 x - 6} > - 2 (x^{2} - 5 x - 6) + 3 (*) \end{matrix}

$\sqrt {{x^2} - 5x - 6} = t;\left( {t \geqslant 0} \right)$

\sqrt{x^{2} - 5 x - 6} = t; (t ⩾ 0)

\begin{matrix} (*) \Leftrightarrow t > - 2 t^{2} + 3 \\ \Leftrightarrow 2 t^{2} + t - 3 > 0 \\ \Leftrightarrow t \in (- \infty; - \frac{3}{2}] \cup [1; + \infty) \end{matrix}

$\Rightarrow t \in \left[ {1; + \infty } \right)$

\Rightarrow t \in [1; + \infty)

$\begin{matrix} \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 6} \geqslant 1 \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 \geqslant 1 \hfill \\ \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;\dfrac{{5 - \sqrt {53} }}{2}} \right] \cup \left[ {\dfrac{{5 + \sqrt {53} }}{2}; + \infty } \right) \hfill \\ \end{matrix}$

\begin{matrix} \Rightarrow \sqrt{x^{2} - 5 x - 6} ⩾ 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - 6 ⩾ 1 \\ \Rightarrow x \in (- \infty; \frac{5 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{53}}{2}; + \infty) \end{matrix}

$x \in \left( { - \infty ;\frac{{5 - \sqrt {53} }}{2}} \right] \cup \left[ {\frac{{5 + \sqrt {53} }}{2}; + \infty } \right)$

x \in (- \infty; \frac{5 - \sqrt{53}}{2}] \cup [\frac{5 + \sqrt{53}}{2}; + \infty)

Bài tập 2: $\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} \leqslant 0$

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 6 x + 8} ⩽ 0

Gợi ý đáp án

Điều kiện xác định x² – 6x + 8 ≠ 0 ⟺ x ≠ 2, x ≠ 4

$\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 6x + 8}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \leqslant 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 2}}{{x - 4}} \leqslant 0$

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 6 x + 8} ⩽ 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 4) (x - 2)} ⩽ 0 \Leftrightarrow \frac{x + 2}{x - 4} ⩽ 0

Lập bảng xét dấu ta có:

Từ bảng xét dấu ta kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: x ∈ [ -2 ; 4)

Bài tập 3: Giải bất phương trình: (x² + 3x + 1)(x² + 3x – 3) ≥ 5 (*)

Gợi ý đáp án

$\mathbb{R}$

R

Đặt x² + 3x – 3 = t ⟹ x² + 3x + 1 = t + 4

Bất phương trình (*) ⟺ t(t+4) ≥ 5

⟺ t² + 4t – 5 ≥ 0

⟺ t ∈ ( -∞ ; -5] ∪ [1; +∞ )

$\begin{matrix} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x - 3 \leqslant - 5} \\ {{x^2} + 3x - 3 \geqslant 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} + 3x + 2 \leqslant 0} \\ {{x^2} + 3x - 4 \geqslant 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \in \left[ { - 2; - 1} \right]} \\ {x \in \left( { - \infty - 4} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)} \end{array}} \right. \Rightarrow x \in \left( { - \infty - 4} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right) \hfill \\ \end{matrix}$

\begin{matrix} \Rightarrow [\begin{matrix} x^{2} + 3 x - 3 ⩽ - 5 \\ x^{2} + 3 x - 3 ⩾ 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x^{2} + 3 x + 2 ⩽ 0 \\ x^{2} + 3 x - 4 ⩾ 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x \in [- 2; - 1] \\ x \in (- \infty - 4] \cup [1; + \infty) \end{matrix} \Rightarrow x \in (- \infty - 4] \cup [1; + \infty) \end{matrix}

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ∈ ( -∞ ; -4] ∪ [1; +∞ )

5. Bài tập tự luyện tìm tập nghiệm của bất phương trình

Câu 1: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x² - 4 > 0

A. S = (-2 ; 2).	B. S = (-∞ ; -2) ∪ (2; +∞)
C. S = (-∞ ; -2] ∪ [2; +∞)	D. S = (-∞ ; 0) ∪ (4; +∞)

Câu 2: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x² – 4x + 4 > 0.

A. S = R	B. S = R\{2}
C. S = (2; ∞)	D. S =R\{-2}

Câu 3: Tập nghiệm S = (-4; 5) là tập nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. (x + 4)(x + 5) < 0	B. (x + 4)(5x - 25) ≥ 0
C. (x + 4)(x + 25) < 0	D. (x - 4)(x - 5) < 0

Câu 4: Cho biểu thức: f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và ∆ = b² – 4ac. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

$\mathbb{R}$

R

$x \ne \frac{{ - b}}{{2a}}$

x \neq \frac{- b}{2 a}

$x \ne \frac{{ - b}}{{2a}}$

x \neq \frac{- b}{2 a}

$\mathbb{R}$

R

Câu 5: Tìm tập nghiệm của bất phương trình: -x² + 2017x + 2018 > 0

A. S = [-1 ; 2018]	B. S = (-∞ ; -1) ∪ (2018; +∞)
C. S = (-∞ ; -1] ∪ [2018; +∞)	D. S = (-1 ; 2018)

Câu 6: Giải các bất phương trình sau:

4 x^{2} - x + 1 > 0

x^{2} - x - 6 ⩽ 0

- 3 x^{2} + x + 4 ⩾ 0

(- x^{2} + 3 x - 2) (x^{2} - 5 x + 6) ⩾ 0

Câu 7: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

\frac{1}{x^{2} - 4} < \frac{3}{3 x^{2} + x - 4}

\frac{x^{2} + 3 x - 1}{2 - x} > - x

\frac{3 x - 47}{3 x - 1} > \frac{4 x - 47}{2 x - 1}

x + \frac{9}{x + 2} ⩾ 4

\frac{x^{2} + x + 2}{2 x - 1} > 0

\frac{(x^{2} - x + 3) (x^{2} - 3 x + 2)}{x^{2} - 5 x + 6} > 0

Câu 8: Tập nghiệm S của bất phương trình 5x - 1 ≥ (5x)/2 + 3 là:

\infty

\infty

\infty

\infty

Câu 9:

\frac{3 x + 5}{2} - 1 \leq \frac{x + 2}{3} + x

A. 4

B. 5

C. 9

D. 10

Câu 10: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x(2 - x) ≥ x(7 - x) - 6(x - 1) trên đoạn (-10; 10) bằng:

A. 5

B. 6

C. 21

D. 40

Câu 11: Bất phương trình (m - 1)x > 3 vô nghiệm khi

A. m ≠ 1

B. m < 1

C. m = 1

D. m > 1

Câu 12. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1, cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n + 5 điểm trên. Giá trị của n là

A. 10

B. 7

C. 8

D. 9

Câu 13: Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x - 2y + 6 > 0

a) Điểm (0; 0) có phải là một nghiệm của bất phương trình đã cho không?

b) Hãy chỉ ra ba cặp số (x; y) là nghiệm của bất phương trình đã cho.