Mới nhất Ngữ văn IELTS TOEIC Từ vựng tiếng Anh Tiếng Anh giao tiếp Tiếng Anh THPT Kỹ năng tiếng Anh Ngôn ngữ khác

Nội dung bài viết

Thể tích khối lăng trụ: Hướng dẫn công thức chi tiết và bài tập ứng dụng thực tế
1. Hình lăng trụ là gì?
2. Một số dạng lăng trụ
3. Thể tích khối lăng trụ đứng
4. Ví dụ tính thể tích khối lăng trụ
5. Bài tập thể tích khối lăng trụ

Thể tích khối lăng trụ: Hướng dẫn chi tiết công thức tính và các bài tập ứng dụng thực tế

Chia sẻ

Khối lăng trụ là gì? Làm thế nào để tính thể tích khối lăng trụ một cách chính xác? Đây là thắc mắc phổ biến của nhiều học sinh. Hãy cùng EduTOPS khám phá chi tiết trong bài viết dưới đây.

Trong bài học này, chúng tôi sẽ cung cấp toàn bộ kiến thức về hình lăng trụ, bao gồm công thức tính thể tích và các dạng bài tập kèm lời giải chi tiết. Hy vọng đây sẽ là nguồn tài liệu quý giá, giúp các em nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả xuất sắc trong các kỳ thi sắp tới. Bên cạnh đó, các em có thể tham khảo thêm công thức tính chu vi hình chữ nhật và diện tích hình vuông để củng cố kiến thức hình học.

Thể tích khối lăng trụ: Hướng dẫn công thức chi tiết và bài tập ứng dụng thực tế

1. Hình lăng trụ là gì?

Hình lăng trụ là một đa giác có hai mặt đáy song song và bằng nhau, với các mặt bên là hình bình hành.

Tên gọi hình lăng trụ

Tên của hình lăng trụ được đặt dựa trên hình dạng của mặt đáy.

Ví dụ:

- Nếu mặt đáy là hình tam giác đều, hình lăng trụ đó được gọi là hình lăng trụ tam giác đều.

- Nếu mặt đáy là hình tứ giác đều, hình lăng trụ đó được gọi là hình lăng trụ tứ giác đều.

Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Lưu ý:

- Nếu mặt đáy là hình chữ nhật, hình lăng trụ đứng tứ giác còn được gọi là hình hộp chữ nhật.

- Nếu hình lăng trụ đứng tứ giác có 12 cạnh bằng nhau và mỗi cạnh có độ dài là a, nó được gọi là hình lập phương.

2. Một số dạng lăng trụ

a) Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Độ dài cạnh bên được xem là chiều cao của hình lăng trụ. Các mặt bên của hình lăng trụ đứng đều là hình chữ nhật.

b) Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều... đều thuộc loại này.

c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

d) Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.

e) Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

f) Hình lăng trụ đứng: Nếu đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông, nó được gọi là hình lập phương (hoặc hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau).

Nhận xét:

Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng (tất cả các mặt đều là hình chữ nhật).
Hình lập phương là hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh đều bằng nhau).
Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là hình bình hành).

3. Thể tích khối lăng trụ đứng

Công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng:

V = S.h

Trong đó:

S là diện tích đáy
h là chiều cao của khối lăng trụ.

Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

4. Ví dụ tính thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 1:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a = 2 cm và chiều cao là h = 3 cm. Hãy tính thể tích hình lăng trụ này?

Giải:

$S_{A B C}=a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=2^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\left(m^2\right)$

S_{A B C} = a^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = 2^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} (m^{2})

Khi này, thể tích hình lăng trụ là:

$V=S_{A B C} \cdot h=\sqrt{3} \cdot 3=3 \sqrt{3}\left(m^3\right)$

V = S_{A B C} \cdot h = \sqrt{3} \cdot 3 = 3 \sqrt{3} (m^{3})

Ví dụ 2:

Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Hướng dẫn:

Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:

$S_{A A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{1}{2} S_{A A^{\prime} D^{\prime} D}$

S_{A A^{'} D^{'}} = \frac{1}{2} S_{A A^{'} D^{'} D}

$V_{A^{\prime} \cdot A C D^{\prime}}=V_{C \cdot A A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{1}{2} V_{C \cdot A A^{\prime} D^{\prime} D}$

V_{A^{'} \cdot A C D^{'}} = V_{C \cdot A A^{'} D^{'}} = \frac{1}{2} V_{C \cdot A A^{'} D^{'} D}

$=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}$

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} V_{A B C D \cdot A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}

$=\frac{1}{6} \cdot 3 a \cdot 2 a \cdot 2 a=2 a^3$

= \frac{1}{6} \cdot 3 a \cdot 2 a \cdot 2 a = 2 a^{3}

Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích của khối chóp M.A’B’C’.

Giải:

$A A^{\prime} \perp(A B C)$

A A^{'} ⊥ (A B C)

$\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C},(\mathrm{ABC})\right)=\widehat{A^{\prime} C A}=60^{\circ}$

(A^{'} C, (ABC)) = \hat{A^{'} C A} = 60^{\circ}

$A A^{\prime}=A C \cdot \tan \widehat{A^{\prime} C A}$

A A^{'} = A C \cdot \tan \hat{A^{'} C A}

$=a \sqrt{3} \cdot \tan 60^{\circ}=3 a$

= a \sqrt{3} \cdot \tan 60^{\circ} = 3 a

$S_{A^{\prime B}{ }^{\prime \prime} C^{\prime}}=\frac{(a \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3 a^2 \sqrt{3}}{4}$

S_{A^{' B}^{''} C^{'}} = \frac{(a \sqrt{3})^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{4}

$M B^{\prime}=\frac{A A^{\prime}}{2}=\frac{3 a}{2}$

M B^{'} = \frac{A A^{'}}{2} = \frac{3 a}{2}

$\Rightarrow V_{M \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{3} M B^{\prime} \cdot S_{A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{3 a^2 \sqrt{3}}{8}$

\Rightarrow V_{M \cdot A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} M B^{'} \cdot S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{3 a^{2} \sqrt{3}}{8}

Ví dụ 4:

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D?

A C ⊥ B D

C C^{'} ⊥ B D

B D ⊥ (C O C^{'})

((C^{'} B D), (A B C D)) = ∠ (C^{'} O D) = 60 º

Lại có:

$O C=\frac{A C}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$

O C = \frac{A C}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}

$\Rightarrow C C^{\prime}=O C \cdot \tan \widehat{C^{\prime} O D}$

\Rightarrow C C^{'} = O C \cdot \tan \hat{C^{'} O D}

$=\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \tan 60^{\circ}=\frac{a \sqrt{6}}{2}$

= \frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \tan 60^{\circ} = \frac{a \sqrt{6}}{2}

$V_{A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}}=S_{A B C D} \cdot C C^{\prime}$

V_{A B C D \cdot A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = S_{A B C D} \cdot C C^{'}

$=a^2 \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2}=\frac{a^3 \sqrt{6}}{2}$

= a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{6}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}

5. Bài tập thể tích khối lăng trụ

Bài 1. Một bể nước hình trụ có diện tích mặt đáy B = 2 m² và đường cao h = 1 m. Thể tích của bể nước này bằng bao nhiêu?

Lời giải

Áp dụng công thức V = B.h = 2.1 = 2 m³.

Bài 2: $ABC \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$

A B C \cdot A^{'} B^{'} C^{'}

$\mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{BC}=2 \mathrm{a}, \mathrm{AA}^{\prime}=3 \mathrm{a}$

AB = a, BC = 2 a, {AA}^{'} = 3 a

$(\alpha)$

(α)

$\mathrm{CA}^{\prime}$

{CA}^{'}

$\mathrm{CC}^{\prime}$

{CC}^{'}

$\mathrm{BB}^{\prime}$

{BB}^{'}

$\mathrm{AMN}$

AMN

$A. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{6}$

A . \frac{a^{2} \sqrt{14}}{6}

$B. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{3}$

B . \frac{a^{2} \sqrt{14}}{3}

$C. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{9}$

C . \frac{a^{2} \sqrt{14}}{9}

$D. \frac{a^{2} \sqrt{14}}{7}$

D . \frac{a^{2} \sqrt{14}}{7}

Câu 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Thể tích khối lăng trụ này:

$A. \frac{{{a}^{3}}}{2}$

A . \frac{a^{3}}{2}

$B. {{a}^{3}}$

B . a^{3}

$C. \frac{{{a}^{3}}}{3}$

C . \frac{a^{3}}{3}

$D. \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{4}$

D . \frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}

Câu 4 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích của khối lăng trụ này là:

$A. 9{{a}^{3}}$

A . 9 a^{3}

$C. 3{{a}^{3}}$

C . 3 a^{3}

$B. 12{{a}^{3}}$

B . 12 a^{3}

$D. 18{{a}^{3}}$

D . 18 a^{3}

Câu 5:

A A^{'} = 2 a \sqrt{3}

$A. \frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$

A . \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}

$B. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$

B . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

$C. 2{{a}^{3}}\sqrt{3}$

C . 2 a^{3} \sqrt{3}

$D. 4{{a}^{3}}\sqrt{3}$

D . 4 a^{3} \sqrt{3}

Câu 6 $2{{a}^{2}}$

2 a^{2}

$A. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}$

A . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}

$B. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}$

B . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}

$C. {{a}^{3}}\sqrt{3}$

C . a^{3} \sqrt{3}

$D. \frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}$

D . \frac{\sqrt{3} a^{3}}{6}

Câu 7 $a\sqrt{2}$

a \sqrt{2}

$A. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{72}$

A . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{72}

$B. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{32}$

B . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{32}

$C. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{24}$

C . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{24}

$D. \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36}$

D . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{36}

Để hiểu sâu và vận dụng thành thạo công thức tính thể tích khối lăng trụ, các bạn nên tham khảo thêm các bài tập liên quan đến thể tích khối lăng trụ. Điều này không chỉ giúp củng cố kiến thức mà còn nâng cao kỹ năng giải quyết vấn đề trong học tập.