Mới nhất Ngữ văn IELTS TOEIC Từ vựng tiếng Anh Tiếng Anh giao tiếp Tiếng Anh THPT Kỹ năng tiếng Anh Ngôn ngữ khác

Nội dung bài viết

1. Trực tâm là gì?
2. Đường cao trong tam giác: Khái niệm và đặc điểm
3. Tính chất trực tâm trong tam giác
4. Cách xác định trực tâm của tam giác
5. Bài tập thực hành có đáp án
6. Bài tập tự luyện

Khám phá tính chất trực tâm trong tam giác: Lý thuyết cơ bản và các dạng bài tập thường gặp dành cho học sinh lớp 7

Chia sẻ

Tính chất trực tâm trong tam giác không chỉ bao gồm lý thuyết cơ bản mà còn đi kèm với nhiều dạng bài tập đa dạng, từ trắc nghiệm đến tự luận, kèm theo đáp án và hướng dẫn giải chi tiết. Thông qua đó, học sinh lớp 7 có thể củng cố và mở rộng kiến thức về cách giải các bài toán liên quan đến trực tâm tam giác một cách hiệu quả.

Trực tâm trong tam giác là một trong những chủ đề quan trọng thuộc chương trình Toán lớp 7 theo sách giáo khoa mới. Với tài liệu mà EduTOPS cung cấp dưới đây, các em học sinh sẽ tự tin hơn trong việc kiểm tra và nắm vững kiến thức về tính chất trực tâm tam giác. Dưới đây là toàn bộ kiến thức chi tiết về chủ đề này, mời các bạn cùng theo dõi. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu liên quan như: tam giác vuông cân, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

1. Trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác được định nghĩa là điểm mà ba đường cao trong tam giác gặp nhau. Để xác định trực tâm, không cần thiết phải vẽ cả ba đường cao; chỉ cần vẽ hai đường cao là đủ để tìm ra điểm giao nhau này, chính là trực tâm của tam giác.

Dù là tam giác nhọn, tam giác tù, tam giác cân hay tam giác đều, phương pháp xác định trực tâm đều giống nhau. Từ hai đỉnh bất kỳ, kẻ hai đường cao đến các cạnh đối diện. Giao điểm của hai đường cao này chính là trực tâm, và đường cao thứ ba chắc chắn sẽ đi qua điểm này mà không cần phải kẻ thêm.

Trong một tam giác, nếu ba đường cao cùng giao nhau tại một điểm, điểm đó được gọi là trực tâm. Đây không phải là quan sát bằng mắt thường mà dựa trên các dấu hiệu toán học chính xác.

+ Đối với tam giác nhọn: Trực tâm nằm bên trong tam giác.

+ Đối với tam giác vuông: Trực tâm chính là đỉnh của góc vuông.

+ Đối với tam giác tù: Trực tâm nằm bên ngoài tam giác.

2. Đường cao trong tam giác: Khái niệm và đặc điểm

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba đường cao, tạo nên những tính chất hình học độc đáo và quan trọng.

3. Tính chất trực tâm trong tam giác

Trực tâm của tam giác là một điểm đặc biệt, mang nhiều tính chất hình học quan trọng và thú vị. Dưới đây là những tính chất nổi bật của trực tâm:

- Tính chất 1: Trực tâm là điểm đồng quy của ba đường đặc biệt trong tam giác, bao gồm:

+ Đường trung trực: Đường thẳng đi qua trực tâm và đỉnh tương ứng của cạnh đối diện.

+ Đường phân giác: Đường thẳng chia một góc của tam giác thành hai phần bằng nhau và liên kết với trực tâm.

+ Đường cao: Đường thẳng kẻ từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, giao nhau tại trực tâm.

- Tính chất 2: Trực tâm chia đường trung trực của hai cạnh thành hai đoạn có độ dài bằng nhau, điều này cho thấy trực tâm cách đều các đỉnh của tam giác.

- Tính chất 3: Trực tâm là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, tức là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác và trực tâm nằm chính giữa.

- Tính chất 4: Trực tâm của tam giác nhọn nằm bên trong tam giác, trong khi trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác.

- Tính chất 5: Trực tâm của tam giác vuông nằm ngay trên cạnh huyền và là trung điểm của hai đỉnh góc vuông.

- Tính chất 6: Trực tâm là điểm duy nhất trong tam giác mà tổng khoảng cách từ nó đến ba đỉnh là nhỏ nhất, chứng tỏ nó là điểm gần nhất với các đỉnh so với bất kỳ điểm nào khác.

- Tính chất 7: Trực tâm cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn lớn nhất có thể vẽ qua ba đỉnh của tam giác.

=> Trực tâm đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các đường thẳng và đường tròn liên quan đến tam giác, đồng thời là chìa khóa để giải quyết nhiều bài toán hình học phức tạp.

4. Cách xác định trực tâm của tam giác

a. Trực tâm của tam giác nhọn

Đầu tiên, vẽ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác xuống hai cạnh đối diện. Đường cao là đoạn thẳng vuông góc với cạnh tương ứng và đi qua đỉnh không thuộc cạnh đó. Hai đường cao này giao nhau tại một điểm duy nhất, chính là trực tâm của tam giác. Trực tâm nằm bên trong tam giác nhọn và có vị trí gần trung điểm của các cạnh.

Tam giác nhọn ABC có trực tâm H nằm bên trong tam giác.

b. Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông. Điều này bởi hai cạnh tạo thành góc vuông cũng chính là hai đường cao của tam giác. Do đó, không cần vẽ thêm đường cao, trực tâm chính là đỉnh góc vuông.

Ví dụ: Tam giác vuông EFG có trực tâm H trùng với đỉnh góc vuông E.

c. Trực tâm của tam giác tù

Tương tự như tam giác nhọn, vẽ hai đường cao từ hai đỉnh của tam giác xuống hai cạnh đối diện. Tuy nhiên, trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác. Để xác định trực tâm, vẽ thêm một đường cao từ đỉnh góc tù xuống cạnh đối diện. Đường cao này cắt hai đường cao kia tại một điểm, chính là trực tâm của tam giác tù. Trực tâm nằm ngoài tam giác và gần trung điểm của đoạn nối hai chân đường cao.

Trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác.

Ví dụ: Tam giác tù BCD có trực tâm H nằm bên ngoài tam giác.

5. Bài tập thực hành có đáp án

A. Trắc nghiệm

Câu 1.

$\widehat {AEB}$

\hat{A E B}

A. 30⁰B. 45⁰C. 60⁰D. 90⁰

Đáp án: D

Câu 2

Cho ΔABC cân tại A, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại I. Tia AI cắt BC tại M. Khi đó ΔMED là tam giác gì?

A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều.

Đáp án: A

Câu 3. $\widehat {ABD}$

\hat{A B D}

$\widehat {DBE}$

\hat{D B E}

$\widehat {EBC}$

\hat{E B C}

A. Tam giác cân tại F
B. Tam giác vuông tại D
C. Tam giác cân tại D
D. Tam giác cân tại C

Đáp án: A

Bài 3: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MC
B. ME = MD
C. DM = MB
D. M không thuộc đường trung trực của DE

Giải

Vì M là trung điểm của BC (gt) suy ra BM = MC (tính chất trung điểm), loại đáp án A.

Xét ΔBCE có M là trung điểm của BC (gt) suy ra EM là trung tuyến

⇒ EM = BC/2 (1) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy)

Xét ΔBCD có M là trung điểm của BC (gt) suy ra DM là trung tuyến

⇒ DM = MB = BC/2 (2) (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy) nên loại đáp án C

Từ (1) và (2) ⇒ EM = DM ⇒ M thuộc đường trung trực của DE. Loại đáp án B, chọn đáp án D

Chọn đáp án D

Bài 4: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. ΔABO = ΔCOE
B. ΔBOA = ΔCOE
C. ΔAOB = ΔCOE
D. ΔABO = ΔCEO

Xét tam giác ΔAOB và ΔCOE có

+ OA = OC (vì O thuộc đường trung trực của AC)

+ OB = OE (vì O thuộc đường trung trực của BE)

+ AB = CE (giả thiết)

Do đó ΔAOB = ΔCOE (c-c-c)

Chọn đáp án C

B, Tự luận

Bài 1

Hãy giải thích tại sao trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

GIẢI

+ Xét ΔABC vuông tại A

AB ⏊ AC ⇒ AB là đường cao ứng với cạnh AC và AC là đường cao ứng với cạnh AB

hay AB, AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Mà AB cắt AC tại A

⇒ A là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Vậy: trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông

+ Xét ΔABC tù có góc A tù, các đường cao CE, BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

+ Giả sử E nằm giữa A và B, khi đó

\begin{matrix} \hat{CAE} \equiv \hat{CAB} là góc tù. \\ Trong △ ACE có \\ \hat{CAE} + \hat{ACE} + \hat{CEA} > 90^{\circ} + \hat{ACE} + 90^{\circ} \\ = 180^{\circ} + \hat{ACE} > 180^{\circ} \end{matrix}

Vậy E nằm ngoài A và B

⇒ tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB ⇒ tia CE nằm bên ngoài ΔABC.

+ Tương tự ta có tia BF nằm bên ngoài ΔABC.

+ Trực tâm H là giao của BF và CE ⇒ H nằm bên ngoài ΔABC.

Vậy : trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 2: Cho hình vẽ

a) Chứng minh NS ⊥ LM

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

GIẢI

a) Trong ΔMNL có:

LP ⊥ MN nên LP là đường cao của ΔMNL.

MQ ⊥ NL nên MQ là đường cao của ΔMNL.

Mà LP, MQ cắt nhau tại điểm S

Nên: theo tính chất ba đường cao của một tam giác, S là trực tâm của tam giác.

⇒ đường thẳng SN là đường cao của ΔMNL.

hay SN ⊥ ML.

+ Ta có : trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau nên :

ΔNMQ vuông tại Q có:

$\begin{aligned} &\mathrm{LNP}+\widehat{\mathrm{QMN}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMN}}\\ &\Delta \text { MPS vuông tại } \mathrm{P} \text { có }\\ &\widehat{\mathrm{QMN}}+\overrightarrow{\mathrm{MSP}}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=90^{\circ}-\widehat{\mathrm{QMP}}\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{LNP}}=\widehat{\mathrm{MSP}} . \text { Mà } \widehat{\mathrm{LNP}}=50^{\circ}(\mathrm{gt})\\ &\Rightarrow \widehat{\mathrm{MSP}}=50^{\circ}\\ &+\overline{\mathrm{MSP}}+\mathrm{PSQ}=180^{\circ} \text &\Rightarrow \widehat{\mathrm{PSQ}}=180^{\circ}-\overline{\mathrm{MSP}}=180^{0}-50^{0}=130^{\circ} \end{aligned}$

\begin{matrix} LNP + \hat{QMN} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{LNP} = 90^{\circ} - \hat{QMN} \\ Δ MPS vuông tại P có \\ \hat{QMN} + \vec{MSP} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{MSP} = 90^{\circ} - \hat{QMP} \\ \Rightarrow \hat{LNP} = \hat{MSP} . Mà \hat{LNP} = 50^{\circ} (gt) \\ \Rightarrow \hat{MSP} = 50^{\circ} \\ + \overset{―}{MSP} + PSQ = 180^{\circ} & \Rightarrow \hat{PSQ} = 180^{\circ} - \overset{―}{MSP} = 180^{0} - 50^{0} = 130^{\circ} \end{matrix}

Bài 3:

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K (J ở giữa I và K).

Kẻ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l lấy điểm M khác với điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh rằng đoạn thẳng KN vuông góc với đoạn thẳng IM.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Hãy bắt đầu bằng việc vẽ hình minh họa để dễ hình dung.

Trong một tam giác bất kỳ, ba đường cao luôn gặp nhau tại một điểm duy nhất, được gọi là trực tâm của tam giác.

Đường thẳng l vuông góc với d tại điểm J, và M, J thuộc l ⇒ MJ vuông góc với IK ⇒ MJ chính là đường cao của tam giác MKI.

Điểm N nằm trên đường thẳng đi qua I và vuông góc với MK ⇒ IN vuông góc với MK ⇒ IN là đường cao của tam giác MKI.

Hai đường cao IN và MJ giao nhau tại điểm N.

Theo tính chất của ba đường cao trong tam giác, điểm N chính là trực tâm của tam giác MKI.

Do đó, KN cũng là đường cao của tam giác MKI ⇒ KN vuông góc với MI.

Kết luận: KN ⏊ IM.

Bài 4:

Hãy giải thích lý do tại sao trực tâm của tam giác vuông lại trùng với đỉnh góc vuông và trực tâm của tam giác tù lại nằm bên ngoài tam giác.

GỢI Ý GIẢI ĐÁP

+ Xét tam giác ABC vuông tại A:

AB ⏊ AC ⇒ AB là đường cao tương ứng với cạnh AC và AC là đường cao tương ứng với cạnh AB.

AB và AC là hai đường cao của tam giác ABC.

Vì AB và AC cắt nhau tại A,

nên A chính là trực tâm của tam giác vuông ABC.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông.

Xét tam giác ABC có góc A tù, với các đường cao CE và BF (E thuộc AB, F thuộc AC), trực tâm H.

Giả sử điểm E nằm giữa A và B, khi đó:

\begin{matrix} \hat{CAE} \equiv \hat{CAB} là góc tù. \\ Trong △ ACE có \\ \hat{CAE} + \hat{ACE} + \hat{CEA} > 90^{\circ} + \hat{ACE} + 90^{\circ} \\ = 180^{\circ} + \hat{ACE} > 180^{\circ} \end{matrix}

Do đó, điểm E nằm ngoài đoạn thẳng AB.

Từ đó suy ra tia CE nằm ngoài tia CA và tia CB, tức là tia CE nằm bên ngoài tam giác ABC.

Tương tự, tia BF cũng nằm bên ngoài tam giác ABC.

Vì trực tâm H là giao điểm của BF và CE, nên H nằm bên ngoài tam giác ABC.

Kết luận: Trực tâm của tam giác tù nằm ở bên ngoài tam giác.

Bài 5: Cho hình vẽ sau:

a) Chứng minh rằng NS vuông góc với LM.

b) Khi góc LNP = 50^o, hãy tính góc MSP và góc PSQ.

Gợi ý đáp án

a) Trong tam giác MNL:

LP vuông góc với MN, do đó LP là đường cao của tam giác MNL.

MQ vuông góc với NL, vì vậy MQ cũng là đường cao của tam giác MNL.

Vì LP và MQ giao nhau tại điểm S,

nên theo tính chất ba đường cao của tam giác, S chính là trực tâm của tam giác MNL.

Từ đó, đường thẳng SN là đường cao của tam giác MNL.

Hay nói cách khác, SN vuông góc với ML.

+ Trong tam giác vuông, hai góc nhọn luôn phụ nhau, do đó:

Tam giác NMQ vuông tại Q có:

\begin{matrix} LNP + \hat{QMN} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{LNP} = 90^{\circ} - \hat{QMN} \\ Δ MPS vuông tại P có \\ \hat{QMN} + \vec{MSP} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{MSP} = 90^{\circ} - \hat{QMP} \\ \Rightarrow \hat{LNP} = \hat{MSP} . Mà \hat{LNP} = 50^{\circ} (gt) \\ \Rightarrow \hat{MSP} = 50^{\circ} \\ + \overset{―}{MSP} + PSQ = 180^{\circ} & \Rightarrow \hat{PSQ} = 180^{\circ} - \overset{―}{MSP} = 180^{0} - 50^{0} = 130^{\circ} \end{matrix}

Bài 7:

Trên đường thẳng d, lấy ba điểm phân biệt I, J, K sao cho J nằm giữa I và K.

Vẽ đường thẳng l vuông góc với d tại J. Trên l, lấy điểm M khác J. Đường thẳng đi qua I và vuông góc với MK cắt l tại N.

Chứng minh rằng KN vuông góc với IM.

Gợi ý đáp án

Trong một tam giác, ba đường cao luôn đồng quy tại một điểm duy nhất, được gọi là trực tâm của tam giác đó.

Vì l vuông góc với d tại J, và M, J thuộc l ⇒ MJ vuông góc với IK ⇒ MJ là đường cao của tam giác MKI.

Điểm N nằm trên đường thẳng đi qua I và vuông góc với MK ⇒ IN vuông góc với MK ⇒ IN là đường cao của tam giác MKI.

Hai đường cao IN và MJ giao nhau tại điểm N.

Theo tính chất ba đường cao của tam giác, điểm N chính là trực tâm của tam giác MKI.

Do đó, KN cũng là đường cao của tam giác MKI ⇒ KN vuông góc với MI.

Kết luận: KN ⏊ IM.

Bài 8:

Cho tam giác ABC không vuông, với H là trực tâm của nó.

a) Hãy xác định các đường cao của tam giác HBC. Từ đó, hãy chỉ ra trực tâm của tam giác này.

b) Tương tự, hãy lần lượt xác định trực tâm của các tam giác HAB và HAC.

Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Từ đó suy ra: AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, và CF vuông góc với AB.

Gợi ý đáp án

Hãy vẽ một hình minh họa để dễ dàng hình dung.

a) Xét tam giác HBC:

Vì AD vuông góc với BC nên AD là đường cao từ đỉnh H đến cạnh BC.

BA vuông góc với HC tại F, do đó BA là đường cao từ đỉnh B đến cạnh HC.

CA vuông góc với BH tại E, vì vậy CA là đường cao từ đỉnh C đến cạnh HB.

Ba đường cao AD, BA, CA giao nhau tại A, nên A là trực tâm của tam giác HCB.

b) Tương tự:

+ Trực tâm của tam giác HAB là C (C là điểm giao của ba đường cao: CF, AC, BC).

+ Trực tâm của tam giác HAC là B (B là điểm giao của ba đường cao: BE, AB, CB).

Bài 9

Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF. Biết rằng AD = BE = CF. Hãy chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Gợi ý đáp án:

∆ A B C \Rightarrow ∆ A B E

∆ A B C \Rightarrow ∆ A F C

∆ A B C \Rightarrow ∆ A D C

+ Xét tam giác ABE vuông tại E và tam giác AFC vuông tại F, ta có:

BE = CF

\hat{E A F}

\Rightarrow ∆ A B E = ∆ A F C

\Rightarrow A B = A C (1)

+ Xét tam giác CDA vuông tại D và tam giác AFC vuông tại F, ta có:

Cạnh AC chung

AD = CF

\Rightarrow ∆ C D A = ∆ A F C

\Rightarrow \hat{C A F} = \hat{A C D}

\Rightarrow ∆ A B C

=> AB = BC (2)

Từ (1) và (2), ta có: AB = AC = BC

\Rightarrow ∆ A B C

Bài 10

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho AD = AE. Hãy chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Gợi ý đáp án:

a) Gọi F là giao điểm của DE và BC

+ Vì AD = AE nên tam giác ADE cân tại A

Tam giác ABC vuông cân tại A nên BA vuông góc với AC, hay EA vuông góc với AD

Suy ra tam giác ADE vuông cân tại A

=> \hat{A E D} = \hat{A D E} = 45 °

+ Tam giác ABC vuông cân tại A

=> \hat{A B C} = \hat{A C B} = 45 °

\hat{F E C} + \hat{F C E} + \hat{E F C} = 180 °

=> 45 ° + 45 ° + \hat{E F C} = 180 °

=> \hat{E F C} = 180 ° - 90 ° = 90 °

=> EF vuông góc với BC hay DE vuông góc với BC.

b) Xét tam giác BCD, ta có: CA vuông góc với BD => CA là đường cao của tam giác BCD

DE vuông góc với BC => DE là đường cao của tam giác BCD

Mà DE cắt CA tại E

=> E là trực tâm của tam giác BCD

=> BE vuông góc với CD.

Bài 11

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA, lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Hãy chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Gợi ý đáp án:

Gọi MH cắt BC tại điểm I.

+ Xét tam giác MBH và tam giác CBH, ta có:

Cạnh MB bằng cạnh MC.

\hat{M B H} = \hat{C B H}

Cạnh BH là cạnh chung.

Suy ra tam giác MBH bằng tam giác CBH (theo trường hợp cạnh-góc-cạnh).

=> \hat{B M H} = \hat{B C H}

\hat{A B C} + \hat{A C B} = 90^{o}

Góc BMI cộng góc ABC bằng góc ACB cộng góc ABC, tức là 90 độ.

\hat{B M I} + \hat{A B C} = \hat{A C B} + \hat{A B C} = 90^{o}

\hat{B M I} + \hat{A B C} = 90^{o}

=> \hat{B I M} = 90^{o}

Từ đó suy ra MI vuông góc với BC, hay MH cũng vuông góc với BC.

Bài 12

Xét tam giác ABC không vuông, với H là trực tâm của tam giác.

Hãy xác định các đường cao của tam giác HBC và từ đó tìm ra trực tâm của tam giác này.

Giải:

Gọi D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ A, B, C xuống các cạnh đối diện của tam giác ABC.

Do đó, AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, và CF vuông góc với AB.

Trong tam giác HBC:

Vì AD vuông góc với BC nên AD là đường cao từ H đến BC.

BA vuông góc với HC tại F nên BA là đường cao từ B đến HC.

CA vuông góc với BH tại E nên CA là đường cao từ C đến HB.

Các đường cao AD, BA, CA giao nhau tại A, do đó A là trực tâm của tam giác HCB.

Bài tập 13:

Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh rằng JT vuông góc với EF.

b) Chứng minh rằng IE vuông góc với JE.

c) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P và Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC.

Chứng minh rằng P, F, E, Q thẳng hàng.

Giải

a) Áp dụng tính chất đường trung bình trong tam giác vuông, ta có:

FI = 1/2 AH = EI và FJ = 1/2 BC = EJ.

Từ đó suy ra IJ là đường trung trực của EF.

c) Tứ giác BFHD và ABDE là các tứ giác nội tiếp (điều phải chứng minh).

d) H là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác EFD.

Góc PFB bằng góc BFD.

Góc DFH bằng góc EFH.

Tổng bốn góc này bằng 2.90° = 180°, suy ra P, E, F thẳng hàng.

Bằng cách tương tự, ta cũng chứng minh được rằng ba điểm F, E, Q nằm trên cùng một đường thẳng.

6. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam giác ABC không vuông, với H là trực tâm. Hãy xác định các đường cao của tam giác HBC và từ đó tìm ra trực tâm của tam giác này.

Bài 2: Cho đường tròn (O, R), với BC là dây cung cố định và A là điểm di động trên đường tròn. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.

Bài 3: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với EF.

b) Chứng minh rằng IE vuông góc với JE.

Bài 4: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AH và BC.

a) Chứng minh rằng JT vuông góc với EF.

b) Chứng minh rằng IE vuông góc với JE.

c) Chứng minh rằng DA là tia phân giác của góc EDF.

d) Gọi P và Q là hai điểm đối xứng của D qua AB và AC.

Chứng minh rằng P, F, E, Q thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC với trực tâm H. Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H qua các đường thẳng chứa cạnh hoặc trung điểm của các cạnh nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Bài 6: Cho tam giác ABC với các đường cao AD, BE, CF và trực tâm H. DF cắt BH tại M, DE cắt CH tại N. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua A và vuông góc với MN đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC.

Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD có ba góc tại các đỉnh A, B và C bằng nhau. Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng O, H, D thẳng hàng.

Bài tập 8: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC và MA = MB = MC. Hãy xác định trực tâm của tam giác ABC.

Bài tập 9: Cho tam giác ABC có góc A bằng 70⁰, AB < AC. Đường phân giác góc A cắt BC tại D, BF vuông góc với AC tại E, và F thuộc AC sao cho AE = AB. Xác định trực tâm tam giác ABE và tính số đo góc DHF.

Bài tập 10

Cho tam giác ABC. Hãy vẽ điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC là tam giác nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Bài tập 11

Cho tam giác ABC và điểm O thỏa mãn OA = OB = OC. Chứng minh rằng O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.