Diện tích lục giác đều: Khám phá công thức chuẩn và phương pháp tính toán chi tiết

Diện tích lục giác đều là một chủ đề hình học quan trọng, cung cấp kiến thức toàn diện từ khái niệm cơ bản, công thức tính toán, hướng dẫn chi tiết cách vẽ, đến các bài tập thực hành đi kèm. Tài liệu này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức mà còn phát triển kỹ năng tư duy logic và sáng tạo.

Việc nắm vững cách tính diện tích lục giác đều giúp học sinh tự tin hơn trong việc kiểm tra và ứng dụng kiến thức vào thực tế. Bên cạnh đó, tài liệu còn hướng dẫn chi tiết cách vẽ hình lục giác đều, kèm theo các bài tập vận dụng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề. Để mở rộng hiểu biết, học sinh có thể tham khảo thêm các chủ đề nâng cao như bài tập về Bình phương của một tổng, Hiệu hai bình phương, và các dạng toán nâng cao lớp 8 khác.

I. Lục giác đều là gì?

Một hình lục giác được gọi là đều khi sáu cạnh của nó có chiều dài bằng nhau và tất cả các góc ở đỉnh có cùng kích thước. Hình khối có hai đáy là lục giác đều được gọi là lục lăng.

*Đặc điểm hình lục giác đều

– Tổng số đo các góc ở đỉnh của đa giác đều được tính bằng công thức (n.180^o – 360^o) = 180^o.(n-2), trong đó n là số cạnh của đa giác. Do đó, độ lớn của mỗi góc ở đỉnh là:

– Các cạnh của lục giác đều có độ dài bằng nhau, và các góc ở đỉnh cũng có kích thước bằng nhau.

– Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp và r là bán kính đường tròn nội tiếp của đa giác đều. Nếu cạnh của đa giác đều là a, ta có công thức:

– Độ dài các cạnh của lục giác đều bằng chính bán kính của đường tròn ngoại tiếp.

– Khi nối tâm đường tròn ngoại tiếp (hoặc nội tiếp) với các đỉnh của lục giác, ta sẽ thu được 6 tam giác đều.

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp chính là tâm đối xứng quay của lục giác đều.

II. Công thức tính diện tích lục giác đều

Để tính diện tích của một hình lục giác thường, chúng ta có thể chia hình lục giác đó thành 4 hình tam giác. Sau đó, tính tổng diện tích của các tam giác này để tìm ra diện tích tổng thể của hình lục giác.

- Công thức tính diện tích hình lục giác đều:

Trong đó:

- S là kí hiệu diện tích.

- a là độ dài cạnh của lục giác.

III. Cách tính diện tích hình lục giác đều

1. Tính diện tích hình lục giác đều khi biết độ dài một cạnh

- Trường hợp đề bài cho sẵn độ dài một cạnh:

Trong trường hợp này, bạn chỉ cần thay giá trị cạnh mà đề bài cung cấp vào công thức tính diện tích đã biết.

- Trường hợp xác định độ dài qua chu vi (P):

Bạn có thể sử dụng công thức P = 6 x a để suy ra a = P : 6, từ đó tìm được độ dài cạnh của hình lục giác đều. Sau khi xác định được cạnh, bạn chỉ cần thay giá trị này vào công thức tính diện tích.

Tính diện tích hình lục giác đều khi biết đường trung đoạn

Đường trung đoạn là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ tâm của lục giác đều đến một cạnh bất kỳ của nó.

2. Tính diện tích hình lục giác không đều khi biết các đỉnh

- Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của đa giác không đều.

Bạn cần xác định tọa độ của tất cả các đỉnh lục giác bằng hệ trục tọa độ x, y. Khi biết tọa độ các đỉnh, việc tính diện tích sẽ trở nên dễ dàng hơn.

- Bước 2: Tạo bảng giá trị tọa độ.

Hãy lập một bảng liệt kê tọa độ x, y của mỗi đỉnh theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ và lặp lại giá trị đầu tiên ở cuối bảng.

- Bước 3: Tính nhóm kết quả (1)

Lấy tọa độ x của đỉnh trước nhân với giá trị y của đỉnh tiếp theo, sau đó cộng các tích lại với nhau.

- Bước 4: Tính nhóm kết quả hai (2)

Ngược lại với bước 3, ở bước này, bạn sẽ lấy tọa độ y của đỉnh trước nhân với tọa độ x của đỉnh tiếp theo, sau đó tính tổng các tích thu được.

- Bước 5: Lấy tổng các tích của nhóm (1) trừ đi tổng các tích của nhóm (2), sau đó lấy giá trị tuyệt đối của kết quả.

- Bước 6: Tính diện tích của lục giác không đều.

Chia kết quả thu được ở bước năm cho hai, bạn sẽ có diện tích của lục giác không đều.

IV. Cách vẽ hình lục giác đều

Có nhiều phương pháp vẽ hình lục giác đều mà bạn có thể tham khảo dưới đây:

Cách 1: Vẽ một đường tròn, sau đó vẽ đường kính. Lấy hai điểm của đường kính nằm trên đường tròn, vẽ hai cung có bán kính bằng bán kính của đường tròn ban đầu. Các điểm giao nhau của các cung và hai đầu đường kính chính là 6 đỉnh của hình lục giác đều.

Cách 2: Bạn có thể vẽ lục giác đều với độ dài cạnh cho trước bằng cách: Lấy độ dài cạnh làm bán kính để vẽ một đường tròn. Sau đó, đặt liên tiếp các dây cung có độ dài bằng bán kính đó lên đường tròn vừa vẽ (đặt được 6 dây cung bằng nhau liên tiếp). Các mút chung của hai dây liên tiếp chính là các đỉnh của lục giác đều.

Cách 3: Hãy vẽ một tam giác đều, sau đó vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Từ một đỉnh của tam giác, kéo dài đường thẳng qua tâm đường tròn, cắt đường tròn tại điểm A. Từ điểm A, vẽ một tam giác đều khác có đường cao trùng với đường kéo dài qua tâm ban đầu.

Cách 4: Vẽ một đường tròn (C) với bán kính bất kỳ. Đặt tâm compa trên đường tròn (C), quay các đường tròn đồng tâm với (C) sao cho chúng cắt (C) tại các điểm là đỉnh của lục giác cần tìm. Tâm của đường tròn sau là giao điểm của đường tròn trước với (C).

V. Ứng dụng hình lục giác đều

Hình lục giác đều không chỉ là một chủ đề nghiên cứu quan trọng trong toán học mà còn mang lại nhiều ứng dụng thực tiễn trong đời sống và kỹ thuật. Dưới đây là một số ứng dụng nổi bật:

• Trong tự nhiên: Hình lục giác đều xuất hiện trong cấu trúc tổ ong, minh chứng cho sự tối ưu hóa không gian và vật liệu một cách tự nhiên.
• Trong kiến trúc và xây dựng: Gạch lục giác được sử dụng để lát sàn, tạo nên cấu trúc vững chắc và thẩm mỹ nhờ tính đối xứng hoàn hảo và khả năng phân chia không gian hiệu quả.
• Trong toán học: Hình lục giác đều đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu hình học, đặc biệt là về đối xứng và các tính chất của đa giác đều, đồng thời hỗ trợ giải quyết các bài toán hình học phức tạp.
• Trong công nghệ: Cấu trúc lục giác được ứng dụng trong thiết kế màng lọc, tấm pin mặt trời và các cấu trúc vi mô nhờ khả năng phân bố áp lực đồng đều và tối ưu hóa hiệu suất hấp thụ năng lượng.

VI. Bài tập tính diện tích lục giác đều

Bài 1: Điều gì sẽ xảy ra khi hình lục giác đều có nửa chu vi tăng lên gấp 6 lần?

Bài 1: Cho lục giác lồi ABCDEF, biết rằng mỗi đường chéo AD, BE, CF chia nó thành hai phần có diện tích bằng nhau. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của EB với AC và FD, P và Q lần lượt là giao điểm của AD với BF và CE. Chứng minh rằng:

a) PM song song với NQ.

b) AD, BE, CF đồng quy.

Bài 2: Chứng minh rằng nếu một ngũ giác có các góc bằng nhau và nội tiếp trong một đường tròn thì ngũ giác đó là ngũ giác đều.

Bài 3: Các cạnh đối diện AB và DE, BC và EF, CD và FA của lục giác ABCDEF song song. Chứng minh rằng diện tích tam giác ACE bằng diện tích tam giác BDF.

Bài 4: Cho lục giác ABCDEF có các cạnh đối song song.

a) Chứng minh rằng diện tích tam giác ACE lớn hơn hoặc bằng một nửa diện tích lục giác ABCDEF.

b) Chứng minh rằng nếu lục giác có các góc bằng nhau thì hiệu các cạnh đối diện bằng nhau.

Bài 5: Cho ngũ giác lồi ABCDE có tam giác ABC và CED đều. Gọi O là tâm của tam giác ABC. M và N lần lượt là trung điểm của BD và AE. Chứng minh rằng tam giác OME và tam giác OND đồng dạng.