Mới nhất Ngữ văn IELTS TOEIC Từ vựng tiếng Anh Tiếng Anh giao tiếp Tiếng Anh THPT Kỹ năng tiếng Anh Ngôn ngữ khác

Nội dung bài viết

1. Tam giác vuông cân là gì?
2. Tính chất tam giác vuông cân
3. Đường cao tam giác vuông cân
4. Tính diện tích tam giác vuông cân
5. Cách chứng minh tam giác vuông cân
6. Ví dụ tam giác vuông cân
7. Bài tập về tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân: Khám phá những tính chất đặc trưng và ứng dụng thú vị trong hình học

Chia sẻ

Tam giác vuông cân là một chủ đề quan trọng trong hình học, bao gồm lý thuyết cô đọng và đa dạng các dạng bài tập kèm đáp án chi tiết. Thông qua tài liệu này, học sinh không chỉ củng cố kiến thức mà còn mở rộng khả năng giải toán liên quan đến tam giác vuông cân. Hãy cùng khám phá và làm chủ dạng toán này qua các bài tập tự luyện được thiết kế khoa học.

Tính chất tam giác vuông cân là một phần không thể thiếu trong chương trình Toán lớp 9. Với tài liệu mà EduTOPS cung cấp, học sinh sẽ tự tin kiểm tra và nắm vững kiến thức về dạng toán này. Bài viết dưới đây tổng hợp trọn bộ kiến thức về tam giác vuông cân, từ lý thuyết đến bài tập ứng dụng. Ngoài ra, để nâng cao kỹ năng Toán học, học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu như: chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m, chuyên đề Giải phương trình bậc hai chứa tham số, và bài tập về hệ thức Vi-et cùng các ứng dụng thực tiễn.

1. Tam giác vuông cân là gì?

- Tam giác vuông cân là một hình học đặc biệt, kết hợp tính chất của cả tam giác vuông và tam giác cân. Nói cách khác, đây là tam giác có hai cạnh góc vuông bằng nhau, tạo nên sự cân đối và hài hòa trong hình dạng.

– Trong tam giác ABC, nếu AB = AC và AB vuông góc với AC, thì tam giác ABC được gọi là tam giác vuông cân tại đỉnh A.

2. Tính chất tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân là sự kết hợp độc đáo giữa tính chất của tam giác vuông và tam giác cân. Trong tam giác này, hai góc nhọn bằng nhau, mỗi góc có độ lớn 45 độ, và hai cạnh góc vuông có chiều dài bằng nhau, tạo nên sự cân đối hoàn hảo.

Dựa trên định nghĩa, tam giác vuông cân sở hữu những tính chất đặc trưng sau:

- Hai góc đáy của tam giác vuông cân luôn bằng nhau và mỗi góc có độ lớn là 45 độ, thể hiện sự cân bằng tuyệt đối.

- Ba đường đặc biệt trong tam giác vuông cân, bao gồm đường cao, đường phân giác từ đỉnh góc vuông và đường trung tuyến, đều trùng nhau. Độ dài của hai đường này bằng một nửa cạnh huyền, tạo nên sự hài hòa trong cấu trúc hình học.

3. Đường cao tam giác vuông cân

Công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông cân

$1.\ {a^2} = {b^2} + {c^2}$

1. a^{2} = b^{2} + c^{2}

$2.\ {b^2} = a.b$

2. b^{2} = a . b^{'} v à c^{2} = a . c^{'}

$3.\ ah = bc$

3. a h = b c

$4.\ {h^2} = b$

4. h^{2} = b^{'} . c^{'}

$5.\ \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}$

5. \frac{1}{h^{2}} = \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}

Trong đó: a, b, c lần lượt là các cạnh của tam giác vuông như hình trên;

b’ là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền; c’ là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền;

h là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC.

Như vậy, các bạn có thể áp dụng các công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông đã nêu trên để giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan.

Công thức tính cạnh huyền tam giác vuông cân

Theo định lý Pitago, công thức tính cạnh huyền của tam giác vuông cân được xác định bằng căn bậc hai của tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

$c\ =\sqrt{a^2+\ b^2}$

c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Trong đó:

c là cạnh huyền của tam giác vuông cân.

a, b lần lượt là hai cạnh góc vuông còn lại.

Như vậy, các bạn có thể dựa vào các công thức tính cạnh và đường cao trong tam giác vuông đã trình bày để giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.

4. Tính diện tích tam giác vuông cân

Tam giác ABC vuông cân tại A, với a là độ dài của hai cạnh góc vuông:

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông cho tam giác vuông cân, với chiều cao và cạnh đáy bằng nhau, ta có công thức sau:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}a^{2}$

S_{A B C} = \frac{1}{2} a^{2}

5. Cách chứng minh tam giác vuông cân

Dựa vào định nghĩa về tam giác vuông cân, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau để chứng minh một tam giác là tam giác vuông cân:

- Một tam giác có một góc vuông và hai cạnh góc vuông bằng nhau chính là tam giác vuông cân.

- Một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45 độ cũng được xác định là tam giác vuông cân.

- Một tam giác có hai cạnh bằng nhau và một góc đáy bằng 45 độ cũng là tam giác vuông cân.

6. Ví dụ tam giác vuông cân

Ví dụ 1: Vẽ tam giác ABC vuông cân tại A.

Giải:

- Vẽ góc vuông xAy.

- Trên tia Ax lấy điểm B, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AB = AC.

- Nối B với C.

- Khi đó ta được tam giác ABC vuông cân tại A.

Ví dụ 2: Chọn đáp án đúng cho câu hỏi dưới đây

Tam giác ABC có hai góc B và góc C = 45^o, Vậy tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác cân
B. Tam giác vuông
C. Tam giác đều
D. Tam giác vuông cân

Đáp án đúng: D- ABC là tam giác vuông cân

Giải thích:

Tam giác có hai góc B và C bằng 45^o, tức là góc B = góc C = 45^o.

Vì tổng ba góc trong một tam giác là 180^o, ta có: A + B + C = 180^o.

Thay vào giá trị góc B = C = 45^o, ta có: A + 45^o + 45^o = 180^o.

Từ đó, ta tính được góc A là: A = 180^o - 45^o - 45^o = 90^o.

Vậy tam giác ABC có một góc bằng 90^o(góc A = 90^o) và hai góc bằng nhau (góc B = góc C = 45^o), nên đây là tam giác vuông cân.

Ví dụ 3:

Cho tam giác vuông cân ABC tại A, tia phân giác của các góc B và C cắt AC và AB lần lượt tại E và D.

a, Chứng minh rằng BE = CD, AD = AE.

b, Gọi I là giao điểm của BE và CD, AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng các tam giác MAB và MAC là tam giác vuông cân.

Gợi ý đáp án

$\widehat B = \widehat C$

\hat{B} = \hat{C}

$\widehat {ABE} = \widehat {EBC}$

\hat{A B E} = \hat{E B C}

$\widehat {ACD} = \widehat {DCB}$

\hat{A C D} = \hat{D C B}

$\widehat B = \widehat C$

\hat{B} = \hat{C}

$\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$

\hat{A B E} = \hat{A C D}

Xét tam giác BEA và tam giác CDA có:

$\widehat A$

\hat{A}

AB = AC (gt)

$\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$

\hat{A B E} = \hat{A C D}

Suy ra tam giác BEA bằng với tam giác CDA (theo trường hợp g-c-g)

Suy ra BE = CD và AD = AE (cặp cạnh tương ứng)

$\Delta BEA = \Delta CDE \Rightarrow \widehat {AEB} = \widehat {ADC}$

Δ B E A = Δ C D E \Rightarrow \hat{A E B} = \hat{A D C}

Xét tam giác AID và tam giác AIE có:

$\begin{array}{l} \widehat {AEB} = \widehat {ADC}\\ AD = AE \end{array}$

\begin{matrix} \hat{A E B} = \hat{A D C} \\ A D = A E \end{matrix}

AI chung

Suy ra tam giác AID bằng tam giác AIE (theo trường hợp c-g-c)

$\widehat {AMB} = \widehat {AMC}$

\hat{A M B} = \hat{A M C}

$\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMB} = {90^0}$

\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{0} \Rightarrow \hat{A M B} = 90^{0}

Suy ra hai tam giác AMB và AMC là hai tam giác vuông cân

7. Bài tập về tam giác vuông cân

Trước khi đi trực tiếp đến giải các bài tập liên quan đến tam giác vuông cân, các bạn nên tham khảo một số dạng bài cơ bản và phổ biến nhất:

Dạng 1: Nhận biết một tam giác cho trước bất kỳ là tam giác cân, tam giác đều hoặc vuông cân.

Cách giải: Dựa theo dấu hiệu nhận biết hoặc cách chứng minh từng loại tam giác. Trước hết, nên phán đoán để tìm ra cách giải nhanh nhất.

Dạng 2: Chứng minh các tính chất của tam giác được cho, ví dụ như: tính độ dài của cạnh, độ dài của góc, chứng minh sự bằng nhau của tam giác, v.v.

Cách giải: Để giải dạng toán này, bạn cần vận dụng kiến thức về tính chất của các tam giác cùng với dữ liệu đề bài để tìm ra đáp án.

Bài 1:

a. Một tam giác cân có một góc là 80⁰. Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?

b. Một tam giác cân có một góc là 100⁰. Số đo của hai góc còn lại là bao nhiêu?

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Kẻ AH ⊥ AM (H ∈ AM). Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = 2MH. Chứng minh rằng BN = AC.

Bài 3: $\widehat {EBC} = 2\widehat {ABE}$

\hat{E B C} = 2 \hat{A B E}

$\widehat {MBC},\widehat {BMC}$

\hat{M B C}, \hat{B M C}

Bài 4: Xét tam giác ABC cân tại A với góc B = 60 độ và cạnh AB = 5 cm. Tia phân giác của góc B giao với cạnh AC tại điểm D. Kẻ đường thẳng DE vuông góc với BC, với E nằm trên BC.

a. Chứng minh rằng tam giác ABD bằng tam giác EBD.

b. Chứng minh rằng tam giác ABE là tam giác đều.

c. Chứng minh rằng tam giác AEC là tam giác cân.

d. Tính toán độ dài của cạnh AC.

Bài 5: Cho tam giác ABC với góc A đo được 120⁰. Trên đường phân giác AD của góc A, lấy điểm I. Trên tia đối của AC và AB, lấy các điểm E và F sao cho AE = AF = AI.

a. Chứng minh rằng AB và AC là đường trung trực của IE và IF.

b. Chứng minh rằng tam giác IEF là tam giác đều.

c. Chứng minh rằng AI vuông góc với EF.

Bài 6: Xét tam giác ABC cân tại A với góc A nhỏ hơn 90⁰. Kẻ BD vuông góc với AC. Trên AB, lấy điểm E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng:

a) DE song song với BC

b) CE vuông góc với AB.

Bài 7: Cho tam giác ABC với BC ngắn hơn BA. Qua C, kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác BE của góc ABC, đường thẳng này cắt BE tại F và cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh rằng đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia thành hai phần bằng nhau.