Mới nhất Ngữ văn IELTS TOEIC Từ vựng tiếng Anh Tiếng Anh giao tiếp Tiếng Anh THPT Kỹ năng tiếng Anh Ngôn ngữ khác

Nội dung bài viết

Hằng Đẳng Thức: Lý Thuyết Cơ Bản và Bài Tập Ứng Dụng
I. Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Ứng Dụng
Bình Phương Của Một Tổng: Khám Phá Công Thức Và Ứng Dụng
Bình Phương Của Một Hiệu: Công Thức Và Ý Nghĩa
Hiệu của hai bình phương
Lập phương của một tổng
Lập phương của một hiệu
Tổng của hai lập phương
Hiệu của hai lập phương
II. Hệ quả hằng đẳng thức
Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2
Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3
Hệ quả tổng quát
Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức
III. Các dạng bài toán ứng dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức
Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức - Phương pháp biến đổi và áp dụng hằng đẳng thức
Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Dạng 8: Tìm x thỏa mãn phương trình
Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức
IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ
V. Bài tập về hằng đẳng thức

7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Những Hệ Quả Quan Trọng

Chia sẻ

Hằng đẳng thức đáng nhớ là một chủ đề không thể bỏ qua đối với học sinh lớp 7 và lớp 8. Việc hiểu rõ, nhận biết và áp dụng thành thạo các hằng đẳng thức vào giải toán là kỹ năng thiết yếu trong chương trình Đại số 8, đóng vai trò quan trọng trong hành trình học tập của mọi học sinh phổ thông.

TOP 7 Hằng đẳng thức cung cấp toàn bộ công thức chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa sinh động và bài tập có đáp án, lời giải cụ thể. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp các em vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, rèn luyện kỹ năng giải quyết các dạng bài tập đa dạng để đạt thành tích cao trong các kỳ thi và bài kiểm tra học sinh giỏi. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm tài liệu về Bài tập các trường hợp đồng dạng của tam giác để mở rộng kiến thức.

Hằng Đẳng Thức: Lý Thuyết Cơ Bản và Bài Tập Ứng Dụng

I. Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ
II. Hệ Quả Từ Hằng Đẳng Thức
III. Các Dạng Bài Toán Về Bảy Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ

I. Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Ứng Dụng

Bình Phương Của Một Tổng: Khám Phá Công Thức Và Ứng Dụng

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Diễn Giải: Bình phương của tổng hai số bằng bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, rồi cộng với bình phương của số thứ hai. Công thức này không chỉ là nền tảng toán học mà còn là chìa khóa giải quyết nhiều bài toán phức tạp.

Bình Phương Của Một Hiệu: Công Thức Và Ý Nghĩa

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

Diễn Giải: Bình phương của hiệu hai số bằng bình phương số thứ nhất, trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, rồi cộng với bình phương của số thứ hai. Công thức này không chỉ giúp giải toán mà còn rèn luyện tư duy logic.

Hiệu của hai bình phương

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Diễn giải: Hiệu của bình phương hai số chính bằng tích của tổng và hiệu hai số đó.

Lập phương của một tổng

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

Diễn giải: Lập phương của tổng hai số được tính bằng cách lấy lập phương số thứ nhất, cộng ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng ba lần số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai, và cuối cùng cộng lập phương số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Diễn giải: Lập phương của hiệu hai số được tính bằng lập phương số thứ nhất, trừ ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng ba lần số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai, và cuối cùng trừ lập phương số thứ hai.

Tổng của hai lập phương

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})

Diễn giải: Tổng hai lập phương của hai số bằng tích của tổng hai số đó với bình phương thiếu của hiệu giữa chúng.

Hiệu của hai lập phương

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

Diễn giải: Hiệu của hai lập phương hai số bằng tích của hiệu hai số đó với bình phương thiếu của tổng chúng.

Ví dụ minh họa về hằng đẳng thức

Ví dụ 1

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (3 x + 4)^{2}

b) (5 x - y)^{2}

c) (x y - \frac{1}{2} y)^{2}

Gợi ý đáp án

a) (3 x + 4)^{2} = 9 x^{2} + 24 x + 16

b) (5 x - y)^{2} = 25 x^{2} - 10 x y + y^{2}

c) (xy - 1/2 y)^2 = x^2 y^2 - xy^2 + 1/4 y^2

c) (x y - \frac{1}{2} y)^{2} = x^{2} y^{2} - x y^{2} + \frac{1}{4} y^{2}

Ví dụ 2

Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x^{2} + 2 x + 1

b) 9 - 24 x + 16 x^{2}

c) 4 x^{2} + \frac{1}{4} + 2 x

Gợi ý đáp án

a) x^{2} + 2 x + 1 = x^{2} + 2 x + 1^{2} = (x + 1)^{2}

b) 9 - 24x + 16x^2 = 3^2 - 24x + (4x)^2 = (3 - 4x)^2

b) 9 - 24 x + 16 x^{2} = 3^{2} - 24 x + (4 x)^{2} = (3 - 4 x)^{2}

c) 4x^2 + 1/4 + 2x = (2x)^2 + 2x + (1/2)^2

c) 4 x^{2} + \frac{1}{4} + 2 x = (2 x)^{2} + 2 x + (\frac{1}{2})^{2}

= (2 x + \frac{1}{2})^{2}

Ví dụ 3

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) (3 x - 5) (3 x + 5)

b) (x - 2 y) (x + 2 y)

c) (- x - \frac{1}{2} y) (- x + \frac{1}{2} y)

Gợi ý đáp án

a) (3x - 5)(3x + 5) = (3x)^2 - 5^2 = 9x^2 - 25

a) (3 x - 5) (3 x + 5) = (3 x)^{2} - 5^{2} = 9 x^{2} - 25

b) (x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2

b) (x - 2 y) (x + 2 y) = x^{2} - (2 y)^{2} = x^{2} - 4 y^{2}

c) (-x - 1/2 y)(-x + 1/2 y) = (-x)^2 - (1/2 y)^2

c) (- x - \frac{1}{2} y) (- x + \frac{1}{2} y) = (- x)^{2} - (\frac{1}{2} y)^{2}

= x^{2} - \frac{1}{4} y^{2}

Ví dụ 4

a) Viết biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 dưới dạng đa thức

b) Viết biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x - 2 dưới dạng đa thức

Gợi ý đáp án

a) (2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9

b) (3 x - 2)^{3} = 27 x^{3} - 54 x^{2} + 36 x - 8

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Ngoài ra, ta có các hằng đẳng thức hệ quả của 7 hằng đẳng thức trên. Thường sử dụng trong khi biến đổi lượng giác, chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức,...

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 a b

(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 a b

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b

(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

(a + b - c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 a c - 2 b c

(a - b - c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 a c - 2 b c

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2}

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)

a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a^{2} b - 3 a b^{2}

a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = (a + b + c) (a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a)

(a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 3(a - b)(b - c)(c - a)

(a - b)^{3} + (b - c)^{3} + (c - a)^{3} = 3 (a - b) (b - c) (c - a)

(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

(a + b + c)^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3} + 3 (a + b) (a + c) (b + c)

Hệ quả tổng quát

$a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - a^{n-4}b^3 + ... + a^2b^{n-3} - a \cdot b^{n-2} + b^{n-1})$

a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} - a^{n - 4} b^{3} + \dots + a^{2} b^{n - 3} - a \cdot b^{n - 2} + b^{n - 1})

$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + ... + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})$

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + a^{n - 2} b + a^{n - 3} b^{2} + \dots + a^{2} b^{n - 3} + a b^{n - 2} + b^{n - 1})

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

(a + b)(b + c)(c + a) - 8abc = a(b - c)^2 + b(c - a)^2 + c(a - b)^2

(a + b) (b + c) (c + a) - 8 a b c = a (b - c)^{2} + b (c - a)^{2} + c (a - b)^{2}

(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) - abc

(a + b) (b + c) (c + a) = (a + b + c) (a b + b c + c a) - a b c

Hy vọng đây là tài liệu bổ ích giúp các em hệ thống lại kiến thức, vận dụng vào làm bài tập tốt hơn. Chúc các em ôn tập và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi sắp tới.

III. Các dạng bài toán ứng dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính toán giá trị biểu thức dựa trên hằng đẳng thức.
Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến số.
Dạng 3: Vận dụng hằng đẳng thức để xác định giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức.
Dạng 4: Chứng minh sự bằng nhau giữa các đẳng thức.
Dạng 5: Chứng minh các bất đẳng thức.
Dạng 6: Phân tích đa thức thành các nhân tử.
Dạng 7: Giải bài toán tìm giá trị của x.
Dạng 8: Thực hiện các phép tính liên quan đến phân thức.
Dạng 9: Áp dụng hằng đẳng thức trong các phép tính phân thức phức tạp.

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức A = x² – 4x + 4 tại x = -1

Giải.

Ta có: A = x² – 4x + 4 = (x² – 2.x.2 + 2²) = (x – 2)²

Tại x = -1: A = ((-1) – 2)² = (-3)² = 9

Vậy: A(-1) = 9

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

Giải.

B = (x – 1)² + (x + 1)(3 – x)

= x² – 2x + 1 – x² + 3x + 3 – x

= 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.

Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C = x² – 2x + 5

Giải.

Ta có: C = x² – 2x + 5 = (x² – 2x + 1) + 4 = (x – 1)² + 4

Mà: (x – 1)² ≥ 0 với mọi x.

Suy ra: (x – 1)² + 4 ≥ 4 hay C ≥ 4

Dấu “=” xảy ra khi: x – 1 = 0 hay x = 1

Nên: C_min = 4 khi x = 1

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

D = 4x – x²

Giải.

Ta có: D = 4x – x² = 4 – 4 + 4x – x² = 4 – (4 + x² – 4x) = 4 – (x – 2)²

Mà: -(x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: 4 – (x – 2)² ≤ 4 hay D ≤ 4

Dấu “=” xảy ra khi: x – 2 = 0 hay x = 2

Nên: D_max = 4 khi x = 2.

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

(a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Giải.

VT = (a + b)³ – (a – b)³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³

= 6a²b + 2b³

= 2b(3a² + b²) -> đpcm.

Vậy: (a + b)³ – (a – b)³ = 2b(3a² + b²)

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức - Phương pháp biến đổi và áp dụng hằng đẳng thức

Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0, sau đó sử dụng các phép biến đổi để đưa A về một trong bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

F = x² – 4x + 4 – y²

Giải.

Ta có: F = x² – 4x + 4 – y²

= (x² – 4x + 4) – y² [nhóm hạng tử]

= (x – 2)² – y² [đẳng thức số 2]

= (x – 2 – y)(x – 2 + y) [đẳng thức số 3]

Vậy: F = (x – 2 – y)(x – 2 + y)

Bài 1: A = x³ – 4x² + 4x

= x(x² – 4x + 4)

= x(x² – 2.2x + 2²)

= x(x – 2)²

Bài 2: B = x² – 2xy – x + 2y

= (x² – x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

Bài 3: C = x² – 5x + 6

= x² – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

Dạng 8: Tìm x thỏa mãn phương trình

x²(x – 3) – 4x + 12 = 0

Giải.

x²(x – 3) – 4x + 12 = 0

x²(x – 3) – 4(x – 3) = 0

(x – 3)(x² – 4) = 0

(x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

(x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

Vậy: x = 3; x = 2; x = –2

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

$\frac{x^3-1}{x^2 -2x+1}$

\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}

Giải.

$\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x -1)^2}$

\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1)^{2}}

$\frac{x^2+x+1}{x -1}$

\frac{x^{2} + x + 1}{x - 1}

$\frac{(-1)^2+(-1)+1}{-1 -1} =\frac{-1}{2}$

\frac{(- 1)^{2} + (- 1) + 1}{- 1 - 1} = \frac{- 1}{2}

$=\frac{-1}{2}$

= \frac{- 1}{2}

IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

Lưu ý: a và b có thể là dạng chữ (đơn phức hoặc đa phức) hoặc a, b là một biểu thức bất kỳ. Khi áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ vào bài tập cụ thể, điều kiện của a và b cần được xác định rõ để thực hiện bài tập một cách chính xác.

Biến đổi các hằng đẳng thức chủ yếu là quá trình chuyển đổi từ tổng hoặc hiệu thành tích giữa các số. Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cần được nắm vững để việc áp dụng các hằng đẳng thức trở nên rõ ràng và chính xác.
Để hiểu sâu hơn về bản chất của việc sử dụng hằng đẳng thức, bạn có thể chứng minh tính đúng đắn của chúng bằng cách chuyển đổi ngược lại và sử dụng các hằng đẳng thức liên quan trong quá trình chứng minh bài toán.
Khi áp dụng hằng đẳng thức trong phân thức đại số, cần lưu ý rằng mỗi bài toán có thể có nhiều hình thức biến đổi khác nhau, nhưng bản chất vẫn dựa trên các công thức cơ bản, chỉ cần biến đổi sao cho phù hợp với yêu cầu tính toán.

V. Bài tập về hằng đẳng thức

1. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính

a) (x + 2y)²;

b) (x - 3y)(x + 3y);

c) (5 - x)².

d) (x - 1)²;

e) (3 - y)²

f) (x - )².

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng

a) x² + 6x + 9;

b) x² + x + ;

c) 2xy² + x²y⁴ + 1.

Bài 3: Rút gọn biểu thức

a) (x + y)² + (x - y)²;

b) 2(x - y)(x + y) + (x - y)² + (x + y)²;

Bài 4: Tìm x biết

a) (2x + 1)² - 4(x + 2)² = 9;

b) (x + 3)² - (x - 4)(x + 8) = 1;

c) 3(x + 2)² + (2x - 1)² - 7(x + 3)(x - 3) = 36;

Bài 5: Tính nhẩm các hằng đẳng thức sau

a) 19²; 28²; 81²; 91²;

b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;

c) 29² - 8²; 56² - 46²; 67² - 56²;

Bài 6: Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của biến x

a) 9x² - 6x + 2;

b) x² + x + 1;

c) 2x² + 2x + 1.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

a) A = x² - 3x + 5;

b) B = (2x - 1)² + (x + 2)²;

Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

a) A = 4 - x² + 2x;

b) B = 4x - x²;

Bài 9: Tính giá trị của biểu thức

A. x³ + 12x² + 48x + 64 tại x = 6

B = x³ – 6x² + 12x – 8 tại x = 22

C = x³ + 9x² + 27x + 27 tại x = -103

D = x³ – 15x² + 75x - 125 tại x = 25

Bài 10: Tìm x biết:

a) (x - 3)(x² + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;

b) (x + 1)³ - (x - 1)³ - 6(x - 1)² = -10

Bài 11: Rút gọn

a. (x - 2)³ – x(x + 1)(x – 1) + 6x(x – 3)

b. (x - 2)(x² – 2x + 4)(x + 2)(x² + 2x +4)

d. (x + y)³ – (x - y)³ – 2y³

e. (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)

e. (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x - y)(4x² + 2xy + y²)

Bài 12: Chứng minh

a. a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b. a³ - b³ = (a - b)³ – 3ab(a - b)

Bài 13: a. Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức x³ + y³ + 3xy

Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức x³ - y³ - 3xy

Bài 14: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 3)(4x² – 6x + 9) – 2(4x³ – 1)

B = (x + y)(x² – xy + y²) + (x - y)(x² + xy + y²) – 2x³.

Bài 15. Cho a + b + c = 0. Chứng minh M = N = P với

M = a(a + b)(a + c); N = b(b + c)(b + a); P = c(c + a)(c + b);

2. Bài tập nâng cao

Bài 1. Cho đa thức 2x² – 5x + 3. Viết đa thức trên dưới dạng 1 đa thức của biến y trong đó y = x + 1.

Lời Giải

Theo đề bài ta có: y = x + 1 => x = y – 1.

A = 2x² – 5x + 3

= 2(y – 1)² – 5(y – 1) + 3 = 2(y² – 2y + 1) – 5y + 5 + 3 = 2y² – 9y + 10

Bài 2. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau:

a) 127² + 146.127 + 73²

b) 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)

c) 100² – 99² + 98² – 97² + … + 2² – 1²

d) (20² + 18² + 16² + … + 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² + … + 3² + 1²)

Lời Giải

a) A = 127² + 146.127 + 73²

= 127² + 2.73.127 + 73²

= (127 + 73)²

= 200²

= 40000.

b) B = 9⁸.2⁸ – (18⁴ – 1)(18⁴ + 1)

= 18⁸ – (18⁸ – 1)

= 1

c) C = 100² – 99² + 98² – 97² + … + 2² – 1²

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) + … + (2 + 1)(2 – 1)

= 100 + 99 + 98 + 97 + … + 2 + 1

= 5050.

d) D = (20² + 18² + 16² + … + 4² + 2²) – (19² + 17² + 15² + … + 3² + 1²)

= (20² – 19²) + (18² – 17²) + (16² – 15²) + … + (4² – 3²) + (2² – 1²)

= (20 + 19)(20 – 19) + (18 + 17)(18 – 17) + (16 + 15)(16 – 15) + … + (4 + 3)(4 – 3) + (2 + 1)(2 – 1)

= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + … + 4 + 3 + 2 + 1

= 210

Bài 3. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn?

a) A = (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) và B = 2³²

b) A = 1989.1991 và B = 1990²

Gợi ý đáp án

a) Ta nhân 2 vế của A với 2 – 1, ta được:

A = (2 – 1)(2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)

Ta áp dụng đẳng thức (a - b)(a + b) = a² – b² nhiều lần, ta được:

A = 2³² – 1.

=> Vậy A < B.

b) Ta đặt 1990 = x => B = x²

Vậy A = (x – 1)(x + 1) = x² – 1

=> B > A là 1.

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) a(a – 6) + 10 > 0.

b) (x – 3)(x – 5) + 4 > 0.

c) a² + a + 1 > 0.

Lời Giải

a) VT = a² – 6a + 10 = (a – 3)² + 1 ≥ 1

=> VT > 0

b) VT = x² – 8x + 19 = (x – 4)² + 3 ≥ 3

=> VT > 0

c) a² + a + 1 = a² + 2.a.½ + ¼ + ¾ = (a + ½)² + ¾ ≥ ¾ > 0.

7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Những Hệ Quả Quan Trọng

Hằng Đẳng Thức: Lý Thuyết Cơ Bản và Bài Tập Ứng Dụng

I. Những Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ và Ứng Dụng

Bình Phương Của Một Tổng: Khám Phá Công Thức Và Ứng Dụng

Bình Phương Của Một Hiệu: Công Thức Và Ý Nghĩa

Hiệu của hai bình phương

Lập phương của một tổng

Lập phương của một hiệu

Tổng của hai lập phương

Hiệu của hai lập phương

II. Hệ quả hằng đẳng thức

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 2

Hệ quả với hằng đẳng thức bậc 3

Hệ quả tổng quát

Một số hệ quả khác của hằng đẳng thức

III. Các dạng bài toán ứng dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức

Dạng 2: Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến

Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức - Phương pháp biến đổi và áp dụng hằng đẳng thức

Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử

Dạng 8: Tìm x thỏa mãn phương trình

Dạng 9: Thực hiện phép tính phân thức

IV. Một số lưu ý về hằng đẳng thức đáng nhớ

V. Bài tập về hằng đẳng thức

Chủ đề nổi bật

Nghị luận văn học

Ôn thi IELTS

Sách tri thức

Ôn thi ngữ văn

Ôn thi TOEIC

Ngôn ngữ khác