Phương pháp tìm nghiệm đa thức: Hướng dẫn chi tiết và hiệu quả

Phương pháp tìm nghiệm đa thức là một trong những chủ đề trọng tâm thường xuất hiện trong các bài thi và kiểm tra Toán lớp 7. Tuy nhiên, nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc nắm vững phương pháp này. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn chi tiết, giúp các bạn hiểu rõ và áp dụng hiệu quả.

Tài liệu này cung cấp toàn bộ kiến thức lý thuyết về nghiệm của đa thức, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể và bài tập tự luyện có đáp án. Qua đó, học sinh có thể nhanh chóng nắm bắt và vận dụng vào giải các bài toán liên quan. Ngoài ra, các bạn cũng có thể tham khảo thêm các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng để mở rộng kiến thức.

1. Nghiệm của đa thức một biến

- Giá trị x = a được xem là nghiệm của đa thức P(x) khi và chỉ khi P(a) = 0.

+ Nếu P(a) = 0, ta kết luận x = a là nghiệm của đa thức P(x).

- Đa thức bậc nhất luôn có duy nhất một nghiệm.

- Đa thức bậc hai có tối đa hai nghiệm.

- Đa thức bậc ba có tối đa ba nghiệm; và cứ tiếp tục như vậy.

Chú ý:

+ Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, hoặc thậm chí không có nghiệm nào.

+ Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không bao giờ vượt quá bậc của nó. Ví dụ, đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai có tối đa hai nghiệm, và tương tự.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2y + 6

Từ phương trình 2y + 6 = 0, ta suy ra 2y = -6 ⇒ y = -6/2 = -3.

Vậy nghiệm của đa thức P(x) là y = -3.

Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các hằng số thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax² + bx + c có một nghiệm là x = 1. Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x² - 6x - 2.

2. Phương pháp tìm nghiệm của đa thức

Để tìm nghiệm của đa thức F(x), chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Đặt đa thức F(x) = 0.

Bước 2: Giải phương trình để tìm giá trị của x và kết luận nghiệm.

3. Ví dụ minh họa tìm nghiệm của đa thức

Bài tập 1: Xét xem x = 1; x = 0; x = 2 có phải là nghiệm của đa thức F(x) = 3x³ – 12x hay không?

Gợi ý đáp án:

Với x = 1:

Thay x = 1 vào F(x), ta có: F(1) = 3.1³ – 12.1 = 3 – 12 = -9 ≠ 0.

Vậy x = 1 không phải là nghiệm của đa thức đã cho.

Với x = 0:

Thay x = 0 vào F(x), ta có: F(0) = 3.0³ – 12.0 = 0 – 0 = 0.

Vậy x = 0 là nghiệm của đa thức đã cho.

Với x = 2:

Thay x = 2 vào F(x), ta có: F(2) = 3.2³ – 12.2 = 24 – 24 = 0.

Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức đã cho.

Bài tập 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

Gợi ý đáp án:

f(x) = 0

=> (x – 3)(2x + 5) = 0

=> x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0

f(x) = 0

=> x² + 2x = 0

=> x(x + 2) = 0

=> x = 0 hoặc x + 2 = 0

=> x = 0 hoặc x = -2

Vậy đa thức có nghiệm là x = 0 hoặc x = -2.

Bài 3: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a) P(x) = x² + 1 b) Q(y) = 2y⁴ + 5

Lời giải:

a) Vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1.

Do đó: P(x) = x² + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm.

b) Vì y⁴ ≥ 0 nên 2y⁴ + 5 > 0.

Do đó: Q(y) = 2y⁴ + 5 > 0 nên đa thức Q(y) vô nghiệm.

Bài 4: Tìm nghiệm của đa thức:

a) x² - 2003x - 2004 = 0

b) 2005x² - 2004x - 1 = 0

Lời giải:

a) Đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004.

Khi đó, ta có: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004) = 0.

Do đó, đa thức x² - 2003x - 2004 = 0 có nghiệm x = -1.

b) Đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1.

Khi đó, ta có: a + b + c = 2005 - 2004 - 1 = 0.

Vì vậy, đa thức 2005x² - 2004x - 1 = 0 có nghiệm x = 1.

4. Bài tập tìm tập nghiệm của đa thức

A. Tự luận

Bài 1: Cho đa thức f(x) = x² - x - 6

a, Tính giá trị của f(x) tại x = 1, x = 2, x = 3, x = -1, x = -2, x = -3

b, Trong các giá trị trên, giá trị nào của x là nghiệm của đa thức f(x)?

Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a, (x - 3)(x + 3)b, (x - 2)(x² + 2)c, 6 - 2xd, (x³ - 8)(x - 3)e, x² - 4xf, x² - 5x + 4

Bài 3: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm:

a, 10x² + 3

b, x² + 1

Bài 4: Xác định hệ số tự do c để đa thức f(x) = 4x² - 7x + c có nghiệm bằng 5.

Bài 5: Lập đa thức một biến trong mỗi trường hợp sau:

a) Chỉ có một nghiệm là -2/5

b) Chỉ có hai nghiệm là √2 và -√3

c) Chỉ có ba nghiệm là (0,7), (-0,7), (-0,6)

d) Vô nghiệm

Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P(x) = x³ + 2x² - 3x + 1 có duy nhất một nghiệm nguyên.

B. Trắc nghiệm

Câu 1: Cho đa thức f(x) = x² - 6x + 8. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Câu 2: Nghiệm của đa thức x² - 10x + 9 là:

A. -1 và -9

B. 1 và -9

C. 1 và 9

D. -1 và 9

Câu 3: Tích các nghiệm của đa thức x¹¹ - x¹⁰ + x⁹ - x⁸ là:

A. -3

B. -2

C. -1

D. 0

Câu 4: Số nghiệm của đa thức x³ + 8 là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 5: Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 3x² - 27 là:

A. 0

B. 6

C. -1

D. -6

ĐÁP ÁN

Câu 1	Câu 2	Câu 3	Câu 4	Câu 5
A	C	D	B	B