Mới nhất Ngữ văn IELTS TOEIC Từ vựng tiếng Anh Tiếng Anh giao tiếp Tiếng Anh THPT Kỹ năng tiếng Anh Ngôn ngữ khác

Nội dung bài viết

I. Khái niệm về ba điểm thẳng hàng
II. Vị trí tương đối của ba điểm thẳng hàng
III. Mối quan hệ giữa ba điểm thẳng hàng
IV. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng
V. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng
VI. Ví dụ chứng minh ba điểm thẳng hàng
VII. Bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7

Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho học sinh lớp 7: Hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu

Chia sẻ

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng lớp 7 là một thử thách toán học đòi hỏi sự tư duy logic và kỹ năng phân tích sâu sắc. Nhằm giúp các bạn học sinh vượt qua khó khăn này, EduTOPS mang đến hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu nhất về phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng, giúp các em nắm vững kiến thức và áp dụng hiệu quả vào bài tập.

Chứng minh 3 điểm thẳng hàng không chỉ bao gồm lý thuyết cơ bản về khái niệm mà còn cung cấp các phương pháp chứng minh đa dạng, kèm theo ví dụ minh họa sinh động và bài tập tự luyện có đáp án chi tiết. Tài liệu được biên soạn một cách khoa học, gần gũi với chương trình học, giúp học sinh dễ dàng tiếp thu và vận dụng vào thực tiễn. Bên cạnh đó, các em có thể tham khảo thêm các dạng bài tập liên quan như lũy thừa số hữu tỉ và phép nhân chia số hữu tỉ để củng cố kiến thức toàn diện.

I. Khái niệm về ba điểm thẳng hàng

Ba điểm được gọi là thẳng hàng khi chúng cùng nằm trên một đường thẳng duy nhất, tạo thành một đường kẻ liền mạch không bị gián đoạn.

Ngược lại, ba điểm không thẳng hàng khi không có bất kỳ đường thẳng nào có thể đi qua cả ba điểm đó, chúng phân bố rải rác và không tạo thành một đường kẻ liên tục.

Ví dụ 1. Hình 1 và Hình 2 dưới đây minh họa hai trường hợp điển hình: ba điểm thẳng hàng và ba điểm không thẳng hàng.

Trong Hình 1: Ba điểm M, N và P cùng nằm trên một đường thẳng, do đó chúng được xác định là thẳng hàng.

Trong Hình 2: Ba điểm D, E và F không cùng nằm trên một đường thẳng, vì vậy chúng không thẳng hàng.

II. Vị trí tương đối của ba điểm thẳng hàng

Trong ba điểm thẳng hàng, luôn tồn tại một điểm duy nhất nằm giữa hai điểm còn lại, tạo thành một trật tự rõ ràng và logic.

Ví dụ 2. Quan sát ba điểm thẳng hàng M, N và P trong Hình 1, ta nhận thấy các mối quan hệ vị trí sau:

+ Điểm M và điểm N cùng nằm về một phía so với điểm P;

+ Điểm N và điểm P cùng nằm về một phía so với điểm M;

+ Điểm M và điểm P nằm ở hai phía đối lập so với điểm N;

+ Điểm N nằm chính giữa điểm M và điểm P, đóng vai trò là điểm trung tâm.

III. Mối quan hệ giữa ba điểm thẳng hàng

Ba điểm thẳng hàng là ba điểm phân biệt và cùng thuộc một đường thẳng duy nhất, tạo thành một sự liên kết chặt chẽ về vị trí.

Trong ba điểm thẳng hàng, chỉ có duy nhất một điểm nằm giữa hai điểm còn lại, đảm bảo tính trật tự và logic trong không gian.

IV. Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Sử dụng hai góc kề bù, trong đó ba điểm cần chứng minh nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
Ba điểm cần chứng minh cùng thuộc một tia hoặc một đường thẳng bất kỳ.
Hai đoạn thẳng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh cùng song song với một đường thẳng thứ ba.
Hai đường thẳng đi qua hai trong ba điểm cần chứng minh cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.
Đường thẳng đi qua hai điểm cũng đi qua điểm thứ ba.
Áp dụng tính chất đường phân giác của một góc, đường trung trực của đoạn thẳng, hoặc ba đường cao trong tam giác.
Áp dụng các tính chất của hình bình hành.
Áp dụng tính chất của góc nội tiếp đường tròn.
Áp dụng tính chất của góc bằng nhau đối đỉnh.
Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.
Chứng minh diện tích tam giác tạo bởi ba điểm bằng 0.
Áp dụng tính chất sự đồng quy của các đoạn thẳng.

V. Cách chứng minh ba điểm thẳng hàng

1. Phương pháp 1: (Hình 1)

$\widehat{A B D}+\widehat{D B C}=180^{\circ}$

\hat{A B D} + \hat{D B C} = 180^{\circ}

Cơ sở lý thuyết: Góc có số đo bằng 180⁰ là góc bẹt

2. Phương pháp 2: (Hình 2)

Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

Cơ sở lý thuyết là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7

3. Phương pháp 3: (Hình 3)

$\perp$

⊥

$\perp$

⊥

Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

* Hoặc chứng minh A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một đoạn thẳng.

4. Phương pháp 4: (Hình 4)

* Nếu tia OA và tia OB cùng là tia phân giác của góc xOy thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác.

$\widehat{xOA}= \widehat{xOB}$

\hat{x O A} = \hat{x O B}

5. Phương pháp 5: Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’ là trung điểm BD thì K’≡ K thì A, K, C thẳng hàng.

Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm.

VI. Ví dụ chứng minh ba điểm thẳng hàng

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho MD = CD. Trên tia đối của tia EB, lấy điểm N sao cho EN = BE. Chứng minh: A là trung điểm của MN.

Gợi ý đáp án

Xét ΔBCD và ΔBMD, ta có:

DB = DA (D là trung điểm của AB) ∠D1 = ∠D2 (đối đỉnh).

DC = DM (gt).

=> ΔBCD = ΔBMD (c - g - c)

=> ∠C1 = ∠M và BC = AM.

Mà: ∠C1; ∠M ở vị trí so le trong. => BC // AM.

Chứng minh tương tự, ta được: BC // AN và BC = AN.

Ta có: BC // AM (cmt) và BC // AN (cmt)

=> A, M, N thẳng hàng. (1)

BC = AM và BC = AN => AM = AN (2).

Từ (1) và (2), suy ra: A là trung điểm của MN.

Nhận xét: Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng trước, sau đó chứng minh AM = AN.

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ các điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA, CE vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.

Gợi ý đáp án

Kẻ MK ⊥ AB, MH ⊥ AC

Ta có M là trung điểm của CE

$\Delta BME = \Delta BMC\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow \widehat {EBM} = \widehat {CBM} = {45^0}$

Δ B M E = Δ B M C (c - c - c) \Rightarrow \hat{E B M} = \hat{C B M} = 45^{0}

$\widehat {EBC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {KBE} + \widehat {ABC} = {90^0}$

\hat{E B C} = 90^{0} \Rightarrow \hat{K B E} + \hat{A B C} = 90^{0}

$\widehat {ACB} + \widehat {ABC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {KBE} \Rightarrow \widehat {HCM} = \widehat {KBM}$

\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90^{0} \Rightarrow \hat{A C B} = \hat{K B E} \Rightarrow \hat{H C M} = \hat{K B M}

$\Delta BMK = \Delta HMC$

Δ B M K = Δ H M C

$\Delta AMK = \Delta HMA$

Δ A M K = Δ H M A

$\widehat {KAM} = \widehat {HAM} = {45^0}$

\hat{K A M} = \hat{H A M} = 45^{0}

=> AM là tia phân giác của góc A

Mặt khác, tam giác BAD vuông cân tại A

$\widehat {BAD} = {45^0}$

\hat{B A D} = 45^{0}

=> AD là tia phân giác của góc A

=> A, D, M thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác góc A)

VII. Bài tập chứng minh ba điểm thẳng hàng lớp 7

1. PHƯƠNG PHÁP 1

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED sao cho CM = EN. Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: $\widehat{ABC}=60^{\circ}$

\hat{A B C} = 60^{\circ}

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC). Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: $\widehat{BAx}=\widehat{ABy}$

\hat{B A x} = \hat{A B y}

Bài 5. Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E. Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB < AC, kẻ tia phân giác AD của góc BAC. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Trên tia AB lấy điểm F sao cho AF = AC. Chứng minh rằng:

$\Delta ADF = \Delta EDC$

Δ A D F = Δ E D C

b) Chứng minh ba điểm E, F, D thẳng hàng

c) Chứng minh AD vuông góc với CF

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC tam giác BCM cân tại M có góc ở đáy bằng 15⁰. Trên nửa mặt phẳng AB chứa điểm C, vẽ tam giác đều ABN. Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng.

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ các điểm D và E sao cho BD vuông góc và bằng BA, CE vuông góc và bằng BC. Gọi M là trung điểm của CE. Chứng minh ba điểm A, D, M thẳng hàng.

2/ PHƯƠNG PHÁP 2

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chứng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng.

Bài 1. Cho tam giác ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB và cung tròn tâm B bán kính AC. Đường tròn tâm A bán kính BC cắt các cung tròn tâm C và tâm B lần lượt tại E và F. (E và F nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ BC chứa A). Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng.

III/ PHƯƠNG PHÁP 3

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm BC.

a) Chứng minh AM ⊥ BC.

b) Vẽ hai đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm P và Q. Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng.

Gợi ý: Sử dụng phương pháp 3 hoặc 4 đều giải được.

- Chứng minh AM, PM, QM cùng vuông góc BC

- Hoặc AP, AQ là tia phân giác của góc BAC.

IV/ PHƯƠNG PHÁP 4

Ví dụ: Cho góc xOy. Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh OD và OA là tia phân giác của góc xOy

Bài 1. Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM vuông góc AC, CN vuông góc AB, H là giao điểm của BM và CN.

a) Chứng minh AM = AN.

b) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm BC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông góc AC. Bx và Cy cắt nhau tại E. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.

V/ PHƯƠNG PHÁP 5

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng.

Gợi ý: Sử dụng phương pháp 5